INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DIFERENCIAL

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA 

DE LA 

DIFERENCIAL

GRAFICA 1

         

        Observe que la gráfica 1 esta representada por 

la función:

 y=f(x)         ( 1)

y su derivada o diferencial por

de ella  obtenemos

dy=f'(x)dx              (2)

     

_{Además, de la misma grafica 1 podemos establecer que}

 ∆x=dx=AD         (3)

 

     Sabemos por otro lado que el valor de la derivada en 

cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la 

tangente a la curva en dicho punto, o sea

que sabemos que se puede escribir como

Observamos que dy es el cateto opuesto al ángulo A y que dx corresponde al cateto adyacente del mismo ángulo, por ello esta expresión se puede escribir de la forma

 despejando el diferencial de y

  Si expresamos la definición de la tangente en function de los segmentos del triangulo formado en la gráfica 1, quedaría

de la cual CD es el cateto opuesto del 

triangulo rectángulo ACD, y AD corresponde al cateto 

adyacente. Sustituyendo esta ultima igualdad en 

y aplicando la igualdad según la expresión  (3)  dx=AD

quedaría

eliminando expresiones iguales, concluimos que 

dy=CD

expresión que indica que el incremento de la ordenada(y) 

de la tangente es el correspondiente a cada incremento

 de dx.

     Con todo esto se concluye que si dx representa un 

incremento cualquiera de la variable independiente x para 

un punto A(x,y) de la curva y=f(x), esta tiene por derivada

     

Sin embargo,generalmente la diferencial de la función (dy) 

y el incremento (∆y) no son iguales. Este hecho se observa en 

la GRÁFICA 1

Gráfica 1

 ya que

dy=DC

que representa el incremento de la ordenada de la tangente en el 

punto A, y

∆y=DB

que representa el incremento de la ordenada de la función de A a B.

   Note en la Gráfica 1 que 

    
                                                ∆y  ≠ dy

 Sin embargo, si el incremento de la variable independiente x(∆x)

es muy pequeño(específicamente cuando ∆x se aproxima a 

cero), entonces dy y ∆y, son aproximadamente iguales. 

   Este hecho se observa con claridad en las siguientes gráficas

Grafica 2

Note que  ∆x₂<∆x₁

_{ya que el punto B al ir bajando sobre la curva, se va aproximando} 

_al punto C.

Grafica 3

Note que   ∆x₃<∆x₂

ya que el punto B sigue bajando todavía mas en la gráfica 1,

 lo que causa un acercamiento mayor de esta punto hacia 

el punto C. 

   

_{Grafica 4}

Note que ∆x₄<∆x₃

      Observe ademas que, conforme se va acercando el punto A al 

punto B en la curva, el  ∆y  y el  dy van disminuyendo cada vez 

mas y sus valores se van aproximando entre si gradualmente. 

Observe esta ultima gráfica

Grafica 5

     Note que los puntos B y C se acercan tanto entre si, que 

quedan casi en la misma posición( uno sobre otro). La 

distancia entre estos dos puntos en las primeras curvas era 

notoria y  marcaban una buena diferencia entre 

las longitudes del  ∆y  y el  dy. Sin embargo, en 

esta gráfica(gráfica 4), se nota que las longitudes de  estos 

incrementos son casi iguales entre si. 

   Estos demuestra que mientras mas se acerque el punto B 

al punto A en la curva, la aproximación en los valores 

de ∆y  y el  dy sera mayor, hasta llegar a ser casi iguales.

    La mayor cercanía entre los valores ∆y  y   dy se logra 

cuando los puntos B y C se acercan infinitamente al punto 

A, punto sobre el que la recta es tangente a la curva f(x). 

Este hecho se logra cuando el incremento de x(∆x), o sea 

la base del triangulo rectángulo, se aproxima infinitamente 

a cero. No esta por demás enfatizar que, que todo lo 

que se describió anteriormente, ocurre en forma simultanea.