miércoles, 31 de diciembre de 2014

INTEGRALES INMEDIATAS Y DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE UNA FUNCION

INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN

     Operación inversa del calculo diferencial, que se emplea para calcular, entre otras cosas, el área bajo una curva y el eje x, con fronteras definidas a la izquierda y a la derecha,  a las que se les denomina intervalo.

     Observe la figura 1



Fig. 1

     El área sombreada en la Fig. 1, comprendida bajo la curva definida por la función f(x), el eje x y los limites inferior a, e inferior b, se calcula con la formula:

Área= Base*Altura     (1)

en la que la Base=b-a y la Altura se da por el valor de la función en el punto b, lo que se expresa por f(b).

Sustituyendo en (1) estas expresiones

Área=(b-a)*f(b)       (2)

     Observe que el Área calculada de esta forma es imprecisa, debido a el lado irregular que se da por el segmento superior de la curva.  Esto ocaciona que se incluyan en el calculo [hechos con la expresión (2)], en algunos sectores, porciones de área que no están bajo la curva,  y en algunos otros sectores, estas porciones de área se se excluyen.Este hecho se observa en la fig. 2.




Fig. 2

En este gráfico se nota que el área  A1 se esta excluyendo en el calculo del área total, a pesar de que es una porción de área que esta bajo la curva. Vea que lo contrario pasa con el A2, la cual se esta incluyendo en el calculo, a pesar de que esta  no esta bajo la curva. Este hecho es el que causa errores en el calculo de un área bajo la curva.

     La manera de minimizar el error  al máximo, para calcular el área bajo una curva, es el dividir esta área, en una infinidad de rectángulos infinitamente pequeños, y posteriormente sumar cada una de sus áreas, empleando una técnica llamada Suma de Riemann, la cual, posteriormente se discutirá.

     Note este hecho en la siguiente figura
Fig. 3
     Suponiendo que el área mostrada en lFig. 3, se subdividió en una infinidad de rectángulos, y cada uno de estos es infinitamente pequeño, procedemos a estimar su expresión o formula.

El área Total se calcula


AT=A1 + A2  +...+ An-1 +An       (3)


La Altura para cada rectángulo en la Fig. 3 se da por el valor de la función en el punto donde el rectángulo intersecta la curva, A saber:



La base para cada rectángulo en esta misma figura sera:




Sustituyendo en (3) las expresiones de las bases y las alturas


   
     Sin, embargo, recordemos que  el área se subdividió en rectángulos de bases  iguales, por lo que la expresión (4) la podemos escribir como


la cual empleando la notación sigma, se puede escribir como
la cual se lee: el área total es igual al limite de la sumatoria de todas las áreas desde k=1 hasta n, cuando n tiende hasta infinito.

      Empleando la notación de Leibniz,  la expresión anterior  quedaría


      Los elementos de la expresión de Leibniz tienen los siguientes significados





     La necesidad de emplear las técnicas del Calculo integral estriba en el hecho de que no tenemos una figura con todos los lados regulares  como en el caso de el triangulo, el cuadrado, el rectángulo, un polígono regular, etc., para los cuales, se tiene una formula determinada y muy especifica para cada figura, la cual nos permite estimar el valor del área que estas encierran en sus lados. En el caso de una superficie confinada bajo una curva, el lado que forma la curva es cambiante, lo que no permite precisar una formula única, como en los casos de las figuras mencionadas.
     Anteriormente mencionamos que El calculo integral se emplea para calcular Áreas bajo una curva. Una curva, esta representada por una función, o expresión matemática determinada. Por otro lado, sabemos que hay una gran cantidad y variedad de funciones distintas, esto trae como consecuencia que se tengan que emplear diferentes formulas para poder integrar estas funciones. Se crearon diferentes formulas de integración, cada una de ellas se emplea para integrar un tipo de función  especifica, las cuales se trataran enseguida.





EJERCICIOS RESUELTOS





     Esta formula se emplea para integrar una función, a la que igualaremos con v, y que esta afectada con un exponente n. Pero observe que al lado derecho de v, se encuentra dv. Esto significa que para poder integrar una función de esta  naturaleza, al derivar la función representada por v, debemos  lograr como derivada, la expresión que este a un lado  de mencionada función. Por lo tanto a la expresión dv que aparece en la formula, le llamaremos condición. Esta condición se debe cumplir, para poder integrar tal como lo indica la formula






D) AHORA INCLUIREMOS PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON LA FORMULA






INTEGRACIÓN DE UNA CONSTANTE QUE ESTA AFECTADA CON UN EXPONENTE VARIABLE
(INTEGRAL TRASCENDENTE)

La fórmula para integrar una constante que tiene como exponente un término variable o un polinomio es


EJERCICIOS RESUELTOS



Por analogía a la formula

v=x

y al derivar se logra

dv=1dx

y se observa que la derivada obtenida es igual a la expresión que está a un lado de , por lo que se cumple la condición que plantea la formula en cuestión, por lo tanto el resultado es el que esta misma presenta, esto es



En la que se arrastra el 6, tal como lo dan en el problema, o sea, multiplicando.




En este problema el exponente variable es 4x-4, por lo tanto
V=4x-6

Según lo indica la fórmula que estamos empleando. Ahora derivamos para ver si se cumple la condición que está a un lado de
 En este problema el exponente variable es 4x-4, por lo tanto
V=4x-6
Según lo indica la fórmula que estamos empleando. Ahora derivamos para ver si se cumple la condición que está a un lado de .
dv=4dx
Observe que la condición si se cumple, ya que a un lado de
esta dx que es lo que se obtuvo al derivar. El 4 que aparece con dx, y que no está en la expresión a integrar, solo se compensa con  su inverso multiplicativo que es ¼, introduciéndolo en el resultado, multiplicando. Veamos






En este problema vemos que

Y su derivada es


Vemos que la expresión  es igual a la que está a un lado de 
salvo el 15 que se obtuvo en el proceso de derivación, pero como sabemos que se admiten diferencias cuando estas son valores constantes, podemos decir que si se cumple la condición que señala la formula, solo debemos compensar el 15. Veamos


El  termino     

 
ya se sabe que se arrastra tal como se da
El resultado definitivo será

Resolvamos el problema

Efectuando operaciones

Se nota que la derivada obtenida es igual a la expresión que está a un lado de 
 Por ello concluimos que la condición se cumple, solo compensamos el 16/3. Veamos el proceso



INTEGRACIÓN DE LA CONSTANTE e AFECTADA CON UN EXPONENTE VARIABLE(INTEGRAL TRASCENDENTE)

La formula empleada para este caso particular es




Obtenga el resultado de las siguientes integrales



Sabemos que el exponente es el que se iguala a v, según la fórmula que estamos tratando, de forma que


Expresión, que al compararla con aquella que está enfrente deL temino

en la integral a resolver , concluimos que son iguales, salvo el -5/4 que se debe compensar en el resultado de la integral, con el inverso multiplicativo. El coeficiente que esta tiene, solo se incluye en el resultado que nos da la formula. Veamos




Por analogía a la formula en cuestión igualamos el exponente de la e con v, esto es;


Se nota que esta expresión obtenida al derivar, es igual a la expresión que esta alrededor de   e y su exponente 

condición que presenta la fórmula que estamos viendo, por 

ello concluimos que este problema si se puede resolver con 

esta fórmula. Arrastrando el coeficiente y compensando el 

10;



PROBLEMAS PROPUESTOS

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

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